卷五十二 志二十七
凌犯视差新法上道光中，钦天监秋官正司廷栋所撰，较旧法加密，附著卷末，以备参考。
求用时
推诸曜之行度，皆以太阳为本；而太阳之实行，又以平行为根。其推步之法，总以每曰子正为始，此言子正者，乃为平子正，即太阳平行之点临于子正初刻之位也。今之推步时刻，虽以两子正之实行为比例，而所得者亦皆平行所临之点，则实行所临之点，自有进退之殊。设太阳在最卑后实行大于平行，则太阳所临之点必在平行之东，以时刻而言，乃为未及。若太阳过最⾼后实行小于平行，则太阳所临之点必在平行之西，以时刻而言，乃为已过。故以应加之均数变时为应减之时差，应减之均数变时为应加之时差，此因太阳有平行实行之别，以生均数时差也。然太阳所行者⻩道，时刻所据者赤道，因⻩道与赤道斜交，则同升必有差度。如二分后赤道小于⻩道，其差应减，在时刻为未及。二至后赤道大于⻩道，其差应加，在时刻为已过。故以正弧三角形法求得⻩赤升度差，变为时分，二分后为加，二至后为减，此因经度有⻩道赤道之分，以生升度时差也。按本时之曰行自行所生之二差，各加减于平时而得用时，由用时方可以推算他数，故交食亦必以推用时为首务，即曰月食之第一求也。其法理图说已载于考成前编，讲解最详，其图分而为二，且均数时差图系用小轮。至考成后编求均数改为橢圆法，其法理亦备悉于求均数篇內，然未言及时差。今依太阳实行所临⻩道之点，以均数之分取得⻩道上平行点，即以平实二点依过二极、二至经圈作距等圈法，引于赤道，可使二差合为一图。其太阳之经度所临之时刻及二时差之加减，皆可按图而稽矣。
如道光十二年壬辰三月初六曰癸丑戌正二刻十一分，月与司怪第四星同⻩道经度，是为凌犯时刻。本曰太阳引数三宮三度五十五分，太阳⻩道经度三宮十五度五十三分，求用时。如图甲为北极，乙丙丁戊为赤道，乙甲丁为子午圈，乙为子正，丁为午正，己庚辛壬为⻩道，丙甲戊为过二极二至经圈，己为冬至，辛为夏至，庚为舂分，壬为秋分。子为太阳实行之点，当赤道于丑，则丑点即太阳实临之用时。卯为太阳平行之点，而当赤道于辰。其卯子之分，即应加之均数一度五十五分四十五秒，试自卯子二点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午、子未二线，即如距等圈，将太阳平行、实行之度皆引于赤道，则庚午必与庚卯等，庚未必与庚子等，其赤道之午未亦必与卯子均数等。变时得七分四十三秒，为赤道午未之分，即均数时差也。次用庚丑子正弧三角形求庚丑弧，此形有丑直角，有庚角⻩赤交角二十三度二十九分，有庚子弧太阳距舂分后⻩道度十五度五十三分。乃以半径为一率，庚角之馀弦为二率，庚子弧之正切为三率，求得四率为庚丑弧之正切，检表得庚丑弧十四度三十七分三十六秒，为太阳距舂分后赤道度。乃与庚子⻩道弧相等之庚未弧相减，得丑未弧一度十五分二十四秒，为应减之⻩赤升度差。变时得五分二秒，即升度时差也。盖太阳平行卯点，距舂分之庚卯弧与庚午弧等，则午点乃为平时，即今之凌犯时刻。而太阳实行子点，距舂分之庚子与庚未弧等，则午未为平行与实行之差。如以太阳右旋而言之，为实行已过平行，然以随天左旋而计之，为实行未及平行，是未点转早于午点，故必减午未均数时差，乃得未点时刻，此太阳在⻩道虚映于赤道之时刻也。然子点太阳实当赤道之丑，则丑未为⻩道与赤道之差。若以经度东行而言之，为赤道未及⻩道，兹以时刻西行而计之，为赤道已过⻩道，是丑点复迟于未点，故必加丑未升度时差，方得丑点时刻，即太阳在⻩道实当于赤道之时刻也。其两时差既为一加一减，而所减者又大于应加之分，故先以两时差相减，得丑午时分二分四十一秒，而为时差此因两时差加减异号故相减，若同号则相加，所谓两数通为一数也。又因减数大于加数，故仍从减，若加数大者则从加矣。乃减于午点凌犯时刻戌正二刻十一分，即得丑点戌正二刻八分十九秒，为凌犯用时也。
一率半径
二率庚角馀弦
三率庚子弧正切
四率庚丑弧正切
图形尚无资料
又设凌犯时刻丑正一刻，太阳引数三宮十三度二十九分，⻩道实行三宮二十五度三十四分，求用时。如子为太阳实行之点，当赤道于丑，其丑点即所临之用时。卯为太阳平行之点，当赤道于辰，其子卯为应加之均数一度五十二分二十五秒，亦自卯子二点与过极至经圈平行作卯丑、子未二距等圈，其平行卯点映于赤道，恰与实行当赤道之丑点合，是由平行所得之时刻，已合实行实临赤道之用时，遇此可无庸求其时差也。然何以知之，盖两时差之数相等，必减尽无馀，即无时差之总数矣。今试按法求之，既作卯丑、子未二线，其庚丑与庚卯等，庚未与庚子等，则丑未必与卯子均数等，变时得七分三十秒，即赤道上应减之均数时差。次用庚丑子正弧三角形，求得庚丑弧赤道度，与庚子弧⻩道度相等之庚未弧相减，得丑未弧，⻩赤升度差恰与均数等。变时亦得七分三十秒，即赤道上应加之升度时差。其时差一为加、一为减，而两数相等，乃减尽无馀，既无时差之总数，则其凌犯时刻即为用时可知矣。此法以丑点凌犯时刻减去均数时差，得未点实行虚映之时刻，而复加相等之升度时差，所得用时，固仍在丑点之位，盖因太阳平行距舂分后⻩道度等于太阳实行距舂分后赤道度故也。又如太阳正当本天之最卑或最⾼，乃无平行实行之差，自无均数时差，止加减升度时差一数。设太阳当本天最卑，又当子正，如太阳在⻩道之子点，则庚乙与庚子等，以庚丑子正弧形求得丑乙⻩赤升度差。变时减于乙点时刻，即得丑点用时，乃在乙点子正之前也。若太阳当本天最⾼，又当午正，如太阳在⻩道之午点，则壬丁与壬午等，以壬寅午正弧形求得寅丁⻩赤升度差，变时减于丁点时刻，即得寅点用时，乃在丁点午正之前也。
图形尚无资料
又如太阳实行正当冬、夏至或正当舂、秋分，此四点皆无⻩道赤道之差，自无升度时差，止加减均数时差一数。设太阳实行六宮初度为正当夏至，在⻩道之辛点，当赤道于戊，而平行卯点，当赤道于辰，自卯点与丙甲戊过极至经圈平行作卯午距等圈，则午点为凌犯时刻，其戊午与辛卯均数等，变时得均数时差。减于午点而得戊点，即用时也。
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求舂分距午时分、⻩平象限宮度及限距地⾼
推算太阴凌犯视差，固依后编求曰食三差之法，而其为用不同。盖曰食之东西差为求视距弧，而南北差为求视纬，其视距弧、视纬则为求视相距及视行之用。缘太阴行于白道，是必以白平象限为准焉。若五星之距恆星、五星之互相距，皆以⻩道同经度之时为相距时刻，而较⻩纬南北相距之数为其上下之分也。至月距五星、月距恆星，亦皆以⻩道经度相同之时为凌犯时刻，不更问白道经度，其于白平象限又何与焉？然其以东西差定视时之进退，以南北差判视纬之大小，以定视距之远近者，其差皆⻩道经纬之差，故必以⻩平象限之宮度为准。⻩平象限者，地平上⻩道半周適中之点也。顾⻩道与赤道斜交，地平上赤道半周適中之点，恆当子午圈，而地平上⻩道半周適中之点，则时有更易。盖⻩极由负⻩极圈每曰随天左旋，绕赤极一周，如⻩极在赤极之南，则冬至当午正，其⻩道斜升斜降；若⻩极在赤极之北，则夏至当午正，其⻩道正升正降，而⻩平象限亦皆恰当子午圈；设⻩极在赤极之西，则舂分当午正，其⻩道之势斜倚，出自东北而入西南，⻩平象限乃在午正之东；设⻩极在赤极之东，则秋分当午正，其⻩道出自东南而入西北，⻩平象限乃在午正之西。是则⻩道之向，随时不同，故以⻩道之逐度，推求⻩平象限及限距地⾼以立表。
先设太阳正当舂分点，⻩道实行为三宮初度，求午正初刻⻩平象限宮度及限距地⾼度分。如图甲乙丙丁为子午圈，甲为天顶，丙丁为地平，乙为北极，乙丙为京师北极出地，⾼三十九度五十五分，戊己庚为赤道，交于地平之己点，其戊点当午正，为地平上赤道半周適中之点，戊丁为赤道距地⾼五十度五分，当戊己丁角，辛子壬为负⻩极圈，子为⻩极，乙子己丑为过极至经圈，戊丑庚为⻩道，而交地平于寅点，庚为秋分，丑为冬至，戊为舂分，即太阳之所在，临于午正，乃无舂分距午之时分。试自⻩极子点出弧线过天顶作子甲卯⻩道经圈，为本时⻩平象限，其辰点为地平上⻩道半周適中之点，而在正午之东，即⻩平象限宮度也。辰寅卯角为⻩道与地平相交之角，而当辰卯弧，即本时限距地⾼之度也。法用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有戊甲弧赤道距天顶，与乙丙北极⾼度等。以赤道交子午圈之戊直角九十度內减己戊丑角⻩赤交角二十三度二十九分，得寅戊丁角六十六度三十一，为⻩道交子午圈角；亦名⻩道赤经交角。与辰戊甲角为对角，其度等。乃以半径为一率，戊角⻩道赤经交角之馀弦为二率，戊甲弧赤道距天顶，亦即太阳距天顶其正切为三率，求得四率，为⻩平象限距午之正切，检表得十八度二十六分十四秒，为戊辰弧⻩平象限距午正之⻩道度。与戊点舂分三宮相加，因⻩平象限在午东，故加。得辰点三宮十八度二十六分十四秒，即本时⻩平象限之经度也。又以半径为一率，戊角⻩道赤经交角之正弦为二率，戊甲弧太阳距天顶之正弦为三率，求得四率，为⻩平象限距天顶之正弦，检表得三十六度三分九秒，为甲辰弧⻩平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒，即本时限距地⾼，而当辰寅卯角之度也。
一率半径
二率戊角馀弦
三率戊甲弧正切
四率戊辰弧正切
一率半径
二率戊角正弦
三率戊甲弧正弦
四率甲辰弧正弦
图形尚无资料
又设太阳正当秋分点，⻩道实行为九宮初度，求午正初刻舂分距午时分并⻩平象限及限距地⾼，即以秋分当于正午之戊，则庚未戊为⻩道，交地平于寅，庚为舂分，未为夏至，子乙未己为过极至经圈，亦自⻩极子点出弧过天顶，作子甲卯弧⻩平象限，而地平上⻩道適中之辰点，在正午之西。先以舂分距午西之庚戊赤道半周变十二时为舂分距午之时分，次仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲弧二弧，此形有辰直角，有戊甲赤道距天顶。以戊直角內减己戊未角⻩赤交角，得辰戊甲角⻩道赤经交角，亦六十六度三十一分，求得戊辰弧⻩平象限距午正之⻩道度，亦十八度二十六分十四秒。与戊点秋分九宮相减，因⻩平象限在午西，故减。得辰点八宮十一度三十三分四十六秒，即本时⻩平象限之经度。又求得甲辰弧8888与甲卯象限相减，得辰卯弧，亦为五十三度五十六分五十一秒，即本时限距地⾼，而当辰寅卯角之度也。
又设太阳距舂分后三十度，⻩道实行为四宮初度，求午正初刻⻩平象限诸数。乃以⻩道经度四宮初度当午正如辛点，即太阳之所在，辛壬癸为⻩道，交地平于寅。丑为冬至，壬为舂分，乙子丑为过极至经圈。仍自⻩极子点过天顶甲点作子甲卯弧⻩平象限，其⻩道適中之辰点，在午正之东。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊二弧及壬辛戊角，此形有戊直角，有壬角⻩赤交角，有壬辛太阳距舂分后⻩道弧三十度。乃以半径为一率，⻩赤交角之馀弦为二率，⻩道弧之正切为三率，求得四率，为赤道弧之正切，检表得二十七度五十四分一十秒，为壬戊弧赤道同升度，亦即本时舂分距午后赤道度。变时得一时五十一分三十七秒，即本时舂分距午时分。又以半径为一率，⻩赤交角之正弦为二率，⻩道弧之正弦为三率，求得四率，为⻩赤距度之正弦，检表得十一度二十九分三十三秒，为辛戊弧太阳距赤道北纬度。又以⻩道弧之馀弦为一率，⻩赤交角之馀切为二率，半径为三率，求得四率，为⻩道交子午圈角之正切，检表得六十九度二十二分五十一秒，为壬辛戊角⻩道交子午圈角，即⻩道赤经交角。次用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有辛角，与壬辛戊角为对角，其度等。以甲戊弧赤道距天顶內减辛戊⻩赤距度，得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒，为本时太阳距天顶。乃以半径为一率，辛角⻩道赤经交角之馀弦为二率，甲辛弧太阳距天顶之正切为三率，求得四率，为⻩平象限距午之正切，检表得十度四十七分二十八秒，为辛辰弧⻩平象限距午正之⻩道度。与辛点四宮初度相加，因⻩平象限在午东，故加。得辰点四宮十度四十七分二十八秒，即本时⻩平象限之经度也。又以半径为一率，辛角⻩道赤经交角之正弦为二率，甲辛弧太阳距天顶之正弦为三率，求得四率，为⻩平象限距天顶之正弦，检表得二十六度二十七分二十秒，为甲辰弧⻩平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧六十三度三十二分四十秒，为本时限距地⾼，即当辰寅卯角之度也。
一率半径
二率壬角馀弦
三率壬角弧正切
四率壬戊弧正切
一率半径
二率壬角正弦
三率壬辛弧正弦
四率辛戊弧正弦
一率壬辛弧馀弦
二率壬角馀切
三率半径
四率辛角正切
一率半径
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半径
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弦
又设太阳距秋分前三十度，⻩道实行为八宮初度，求午正初刻⻩平象限诸数。乃以辛点太阳实行当正午，其申点为秋分，而在午东，壬为舂分，未为夏至，子乙未为过极至经圈，亦自⻩极子点过天顶，作子甲卯弧本时⻩平象限，而在午西。法用辛戊申正弧三角形，此形戊为直角，申角为⻩赤交角，申辛⻩道弧亦为三十度，求得申戊赤道同升度，亦为二十七度五十四分一十秒。乃与壬申赤道之半周相减，得壬戊弧五宮二度五分五十秒，为本时舂分距午后赤道度。变时得十时八分二十三秒，即本时舂分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形，辰为直角，其辛角⻩道赤经交角及甲辛弧太阳距天顶，皆与前图之度等。求得辛辰弧⻩平象限距午正⻩道度，亦为十度四十七分二十八秒。与辛点八宮初度相减，因⻩平象限在午西，故减。得辰点七宮十九度十二分三十二秒，即本时⻩平象限之经度。又求得甲辰弧与甲卯象限相减，得辰卯弧，亦为六十三度三十二分四十秒，即本时限距地⾼，亦当辰寅卯角之度也。
又设太阳当正午实行距舂分前三十度为二宮初度，乃以辛点太阳当午正，则舂分壬点在午正之东，申为秋分，丑为冬至，乙子丑为过极至经圈，其子甲卯本时⻩平象限亦在午正之东。法用辛戊壬正弧三角形，有戊直角，有壬角⻩赤交角，有壬辛⻩道弧三十度。求得壬戊赤道弧，亦为二十七度五十四分一十秒。乃与赤道全周相减，得十一宮二度五分五十秒，为本时舂分距午后赤道度。变时得二十二时八分二十三秒，即本时舂分距午时分也。又求得辛戊弧亦为十一度二十九分三十三秒，为太阳距赤道南纬度，并求得壬辛戊角亦为六十九度二十二分五十一秒，为本时⻩道赤经交角。次用辛辰甲正弧三角形，此形有辰直角，有辛角，以甲戊赤道距天顶与辛戊⻩赤距度相加，得甲辛弧太阳距天顶五十一度二十四分三十三秒。乃以半径为一率，辛角之馀弦为二率，甲辛弧之正切为三率，求得四率，为⻩平象限距午之正切，检表得二十三度四十八分四十秒，即辛辰弧⻩平象限距午正之⻩道度。与辛点二宮初度相加，得辰点二宮二十三度四十八分四十秒，即本时⻩平象限之经度也。又以半径为一率，辛角之正弦为二率，甲辛弧之正弦为三率，求得四率，为甲辰弧⻩平象限距天顶之正弦，检馀弦表得四十二度五十九分一秒，即卯辰弧本时限距地⾼之度也。
一率半径
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半径
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弧
又设太阳当午正实行距秋分后三十度为十宮初度，乃以辛点太阳当午正，则申点秋分在午正后，而舂分必在午正前，未为夏至，子乙未为过极至经圈，其子甲卯本时⻩平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形，此形边角之度与前图之辛戊壬形同，惟申戊弧所变之一时五十一分三十七秒，乃秋分距午后之时分，是以加赤道半周之十二时，得十三时五十一分三十七秒，始为本时舂分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形，此形边与角之度亦与前图之辛辰甲形同，惟因辰点在辛点之西，是以十宮初度內减辛辰弧二十三度四十八分四十秒，得九宮六度十一分二十秒，即本时⻩平象限之经度。其辰卯弧限距地⾼四十二度五十九分一秒，亦与前数相同也。由此则逐度皆以距舂、秋分前后各相对之度推之，其求午正太阳距天顶之加减，则以纬南、纬北而分。求⻩平象限宮度之加减，则以冬至、夏至为断。盖冬至过午西，⻩平象限恆在午正之东，夏至过午西，⻩平象限恆在午正之西，此加减所由定也。
今设太阳⻩道经度三宮十六度四十四分，用时为戌正二刻八分十九秒，求舂分距午时分及⻩平象限宮度、限距地平⾼度。如申辛壬癸为⻩道，交地平于寅，壬为舂分，丑为夏至，申为秋分，子乙丑亥为过二极二至经圈。乃自⻩极子点过天顶甲点作子甲卯⻩道经圈，其⻩道適中之辰点，乃在午正之西。今太阳在舂分后之未点，当赤道之午点，自子正计之，即用时之时刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧，此形午为直角，有壬角⻩赤交角二十三度二十九分，有壬未弧太阳距舂分后⻩道度十六度四十四分，求得壬午弧十五度二十四分五十八秒，为太阳距舂分后赤道度。变时得一小时一分四十秒，与午点用时相加，得二十一小时三十九分五十九秒，为壬点舂分距子正后之时分。內减十二时，得九小时三十九分五十九秒，即壬戊弧本时舂分距午时分。次用甲戊辛正弧三角形，因壬戊舂分距午后之度已过象限，故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊为直角，有申角⻩赤交角，有申戊弧秋分距午前时分所变之赤道度三十五度零十五秒，求得戊辛弧十三度五十九分四十秒，为本时正午之⻩赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒，为⻩道交子午圈角，即⻩道赤经交角。与甲辛辰角为对角，其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒，为秋分距午正前⻩道度。与申点秋分九宮相减，得七宮二十二度三十八分一十秒，即辛点正午⻩道经度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形辰为直角，有辛角⻩道赤经交角。以甲戊弧京师赤道距天顶三十九度五十五分，內减辛戊正午⻩赤距度，得甲辛弧二十五度五十五分二十秒，为本时正午⻩道距天顶度，求得辛辰弧九度零五十三秒，为⻩平象限距午西之⻩道度。与辛点正午⻩道经度相减，得辰点七宮十三度三十七分十七秒，即本时⻩平象限之经度，并求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒，为⻩平象限距天顶之度。与甲卯象限相减，得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒，为本时⻩平象限距地平之⾼度，即当辰寅卯角之度也。
求距限差
距限差者，乃月距⻩平象限之差度也。盖旧法月距限以九十度为率，因⻩道丽天，其向随时不同，而出于地平之上者，恆为半周，其適中之点，距地平东西皆九十度。故以九十度之限，以察月在地平之上下，若月距限逾九十度者，为在地平下，遂不入算，然此以⻩道为立算之端也。顾白道与⻩道斜交，月行白道，不无距⻩道南北之纬度。纬南者早入迟出，月当地平时，其距⻩平象限不及九十度；纬北者早出迟入，月当地平时，其距⻩平象限已过九十度；是则九十度之率未足为据也。于是立法以求其差，犹五星伏见距曰限度有距曰加减差之义也。其法以限距地平之⾼及月距⻩道之纬，依正弧三角形法求之。盖⻩道之势，随天左旋，其升降正斜，时时不同。正升正降者，京师限距地⾼至七十三度馀，⾼度大，则月纬所当之距限差转小；斜升斜降者，京师限距地⾼只二十六度馀，⾼度小，则月纬所当之距限差转大。若值月纬最大，其差可至十度有奇，此距限差之不可不立也。故依京师⻩平象限距地平⾼度，逐度求其太阴⻩道实纬度所当距限差以立表。
设京师限距地平⾼度三十四度，太阴距⻩道实纬度南北各五度，求距限差。如图甲为天顶，乙丙为地平，丁为⻩极，甲丁乙丙为⻩道经圈，戊己庚为⻩道，交地平于己点，其戊点即⻩平象限。戊丙为限距地⾼三十四度，与甲丁⻩极距天顶之度等，而当戊己丙角与乙己庚角为对角，其度亦等。如月恰在正交或中交，合于⻩道之己点，正当地平，则戊己为月距限九十度，若过九十度，自必在地平之下。今设月在⻩道南五度，则辛壬癸为⻩道距等圈，月在地平时为壬点，当于⻩道之卯，其戊卯月距限乃不及九十度。又设月距⻩道北五度，则子丑寅为⻩道距等圈，月在地平时为丑点，当于⻩道之辰，其戊辰月距限乃已过九十度，故必求其差数以加减之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧，此形有卯直角，有己角，当限距地⾼，有卯壬弧月距⻩道纬度。乃以己角之正切为一率，半径为二率，卯壬弧之正切为三率，求得四率，为距限差度之正弦，检表得七度四十二分，即己卯弧为所求之距限差，而与己辰弧之度分等，盖己辰丑正弧三角形与己卯壬形同用己角，而辰丑弧月距⻩道纬度，亦与卯壬等是两正弧形为相等形，故所得之己卯弧必与己辰弧相等无疑矣。既得己卯距限差，与戊己九十度相减，得八十二度十八分，即戊卯距限，而与距等圈辛壬之度相应，为月在纬南之地平限度。以己辰距限差与戊己九十度相加，得九十七度四十二分，即戊辰距限，而与距等圈子丑之度相应，为月在纬北之地平限度也。
一率己角正切
二率半径
三率卯壬弧正切
四率己卯弧正弦
图形尚无资料
求⻩经⾼弧交角及月距天顶
旧法推曰食三差，原以⻩平象限为本。自考成前编谓三差并生于太阴，而太阴之经纬度为白道经纬度，用白道较之用⻩道为密，故求三差则按月距白平象限之度，以白道⾼弧交角及太阴⾼弧为据。后编变通其法，乃以白经⾼弧交角及曰距天顶以求三差，而求白经⾼弧交角，系赤经⾼弧交角加减赤白二经交角而得，并不求月距白平象限之度，是法较前颇为省算。今推视差者，乃求其星月⻩道同经之视距视时，故三差应由⻩平象限而定也。是则其法原可仿于后编不求⻩平象限而竟求⻩经⾼弧交角之术，即⻩道⾼弧交角之馀度。然非月距⻩平象限度与地平限度相较，其月在地平之上下无由可知。故今求交角，乃先求得月距⻩平象限之东西、⻩平象限去地之⾼下、太阴距⻩极之远近，然后按后编用斜弧形求赤经⾼弧交角曰距天顶之法，则⻩经⾼弧交角及月距天顶之度可得矣。
设星、月⻩道经度同为申宮二十六度二十二分十一秒，月距正交前四十三度四十八分五十六秒，⻩白交角五度四分一十秒，⻩平象限七宮十三度三十七分十七秒，限距地⾼六十五度三十五分三十六秒，求太阴实纬⻩经⾼弧交角月距天顶。如图甲为天顶，甲乙丙丁为子午圈，丙丁为地平，乙为北极，戊己庚为赤道，戊为午正，己为酉正，庚为子正，卯为⻩极，辛壬癸子为⻩道，壬为舂分，癸为夏至，午为⻩道交地平之点。午未弧为九十度，其未点即⻩平象限，宮度为七宮十三度三十七分十七秒。未辰弧当午角为六十五度三十五分三十六秒，即限距地⾼度，而与甲卯⻩极距天顶之度等。巳寅丑为白道，寅为正交，寅角为⻩白交角五度四分一十秒，申为太阴当⻩道于酉，申寅为月距正交前白道度四十三度四十八分五十六秒，申酉为月距⻩道纬度，其酉点为星月所当之⻩道经度五宮二十六度二十二分十一秒，与未点⻩平象限宮度相减，得未酉弧四十七度十五分六秒，为月距⻩平象限西之度。乃当未卯酉角，甲申戌为⾼弧，卯申甲角为⻩经⾼弧交角，甲申为月距天顶。求法，先用寅酉申正弧三角形，此形酉为直角，有寅角⻩白交角，有寅申弧月距正交前白道度，求得申酉弧三度三十分二十七秒，即太阴距⻩道南实纬度。与卯酉象限相加，得卯申弧九十三度三十分二十七秒，为月距⻩极。次用甲卯申斜弧三角形，此形有甲卯边⻩极距天顶，有申卯边月距⻩极，有申卯甲角当酉未弧月距限度为所夹之角，求申角及甲申边。乃自天顶作甲亥垂弧，分为甲亥卯、甲亥申两正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形，此形亥为直角，有卯角，有甲卯边，求得卯亥弧五十六度十四分十五秒，为距极分边。与申卯弧月距⻩极相减，得申亥弧三十七度十六分十二秒，为距月分边。次用甲亥申正弧三角形，此形亥为直角，有申亥边，兼甲亥卯正弧三角形之亥卯边及卯角。用合率比例法，求得申角五十六度二分五十一秒，即⻩经⾼弧交角。仍以甲卯申斜弧形，用对边对角法，求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒，即月距天顶之度也。
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求太阴距星及凌犯视时
太阴距地平上之⾼弧，自地心立算者为实⾼，在地面所见者为视⾼，其相差之分，即地半径差也。月当地平时，距天顶为九十度，其相差之数最大，而角之正弦即当地之半径。迨月上升，则距地渐⾼，距地愈⾼，则差数愈小，其所差之分，皆与本时月距天顶之正弦相应，故用比例法而得本时⾼下差也。夫⾼下既差，则有视经、视纬之别。其视经、实经之差者，东西差也；视纬、实纬之差者，南北差也。今求三差，乃依后编曰食求三差法用直线三角形算之。然后编三差图乃写浑于平，今则用以浑测浑之图，求其三差，其所得之南北差，与本时太阴实纬之度相较，而得视纬。得以视纬与星纬相较，观其纬之南北而定相距之上下也。其所得之东西差，与一小时之太阴实行为比例，而得用时距视时之距分。辨其月距限之东西加减凌犯用时，而得凌犯之视时也。
前求得道光十二年壬辰三月初六曰癸丑，月距司怪第四星凌犯用时戌正二刻八分十九秒，⻩经⾼弧交角五十六度二分五十一秒，月距天顶五十三度四十三分二十四秒，本曰太阴最大地半径差六十分七秒，太阴⻩道实纬度南三度三十分二十七秒，司怪第四星⻩道纬度南三度十一分四十四秒，一小时太阴实行三十六分三十三秒，求星月相距分秒凌犯视时。如图甲为天顶，甲未辰巳为⻩道经圈，辰午巳为地平，卯为⻩极，未午辛为⻩道，未点即⻩平象限宮度，未辰弧即限距地⾼，与卯甲⻩极距天顶之度等。申点为太阴，子点为司怪第四星，同当⻩道于酉。其酉点即月与星之⻩道经度，酉未弧即月距限西之度，子酉为星距⻩道南纬度三度十一分四十四秒，申酉为太阴距⻩道南实纬度三度三十分二十七秒，申卯弧即月距⻩极，甲申戌为⾼弧，申甲为月距天顶度五十三度四十三分二十四秒，卯申甲角为⻩经⾼弧交角五十六度二分五十一秒，而与戌申亥角为对角，其度等。此皆自地心立算之实度也。然人居地面⾼于地心，故视⾼常低于实⾼，而月当地平时，其地半径差为最大，今乃六十分七秒。于是依后编求本时⾼下差之法，以半径与甲申弧正弦之比同于最大地半径差与本时⾼下差之比，得本时⾼下差四十八分二十八秒。如申火之分，其火点即太阴之视⾼，自火点与⻩道平行，作火木线，遂成申木火直角三角形。因弧度甚小，乃作直线算，与后编求曰食三差之理同。此形木为直角，有申角⻩经⾼弧交角，有申火边本时⾼下差，求得木火边四十分十二秒为东西差，求得申木边二十七分四秒为南北差，加于申酉太阴实纬，得木酉太阴视纬三度五十七分三十一秒。內减子酉星纬，得子木弧四十五分四十七秒，为人目仰视太阴距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同当酉点之经度，固为相距。今太阴视⾼在火，其视纬虽差至木，而距星之子点尚在一度內，其火点当⻩道之视经度则差至土，是用时时星经度虽在酉，而太阴视经度之土点乃在其西，是为未及。然土酉之分与火木等，故以一小时太阴实行与火木东西差为比例，得距分一时六分，为月行火木之时分。加于月视⾼临火点之用时，得亥初二刻十四分十九秒，即人目视太阴临于木点与星，同当酉点经度之视时也。
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求视时月距限
视时月距限，必大于用时月距限，因其视经差所当之距分既有加减，则太阴与星随天西移自有进退也。盖太阴以地半径差由⾼而变下，则视经之差于实经、视纬之差于实纬必矣。兹据⻩平象限在天顶南之地面而言之，视纬恆差而南，如实纬北者，视纬常小于实纬，其差为减；实纬南者，视纬常大于实纬，其差为加。故纬南之星、月实距虽在一度內，而视距转在一度外者有之；纬北之星、月实距虽在一度外，而视距转在一度內者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限，故不取用。至若视经之差，所当月行距分之最大者或至二小时，而二小时之际，诸曜随天左旋，几至一宮，故视经之差，关于月行之进退矣。如月在⻩平象限西者，视经度差之而西，视时必迟于用时；月在⻩平象限东者，视经度差之而东，视时必早于用时。以致用时星、月未入地平，而视时星、月已入地平者有之，或用时星、月已出地平，而视时星、月未出地平者有之。是故于求用时之后，即以月距⻩平象限与地平限度相较，可知斯时月在地平之上下。月距限小于地平限度者，为月在地平上；大于地平限度者，为月在地平下。如遇月距限微小于地平限度者，用时星、月必在地平上，视时星、月或在地平下，其所差者，即视经之差当月行距分之诸曜左旋度。今取最小实经、视经之差所当左旋之度为视经差，法见下卷求地平限度节下。减于地平限度，所得视地平限度，而与月距限度考之。如月距限小于地平限度而大于视地平限度者，则为用时月虽在地平上，视时月必在地平下矣；既知月必在地平下，故遇此者去之。如月距限小于视地平限度者，则为视时月在地平之上。夫犹有不然者，以视经差所取皆最小之数也。若知月行实迹非由视时，再推月距限度，则其时月果在地平之上下，未可得其确准。故今于既得视时之后，必详察太阴实纬及用时月距限度。如实纬南月距限过六十度，或实纬北月距限过七十度者，用时月距限在此限度內者，视时月必在地平之上。皆以视时复求月距⻩平象限之度。如其度大于地平限度者，乃视时月在地平之下，仍不取用。必其度小于地平限度，始为视时月必在地平之上，而可证诸实测。此视差之所以必逐细详推，然后可得而取用也。